Question

已知拋物線y²=4x，焦點為F，頂點為O，點P在拋物線上移動，Q是OP的中點，M是FQ的中點，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：欲求點M的軌跡方程，設M（x，y），只須求得坐標x，y之間的關系式即可．再設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點F的坐標為（1，0）結合中點坐標公式即可求得x，y的關系式．

解答：解：設M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點F的坐標為（1，0）
∵M是FQ的中點，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，又Q是OP的中點
∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在拋物線y²=4x上，∴（4y）²=4（4x-2），
所以M點的軌跡方程為y2=x-

1

2

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合運用基礎知識解決問題的能力．