Question

【題目】已知函數是奇函數．

(Ⅰ)求實數的值；

(Ⅱ)用定義證明函數在上的單調性；

(Ⅲ)若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，函數是上的奇函數，則有，從而可解得；（Ⅱ）用定義法證明函數單調性的步驟為：①取值，根據定義域（或指定的區域）任取，且；②作差（或作商），，對其式子進行化簡整理；③判斷符號，即，或；④下結論；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知函數是奇函數，且在上單調遞增，則，等價于，即，再分離參數得，由不等式恒成立問題，從而可得解.

試題解析：（Ⅰ)∵函數的定義域為R，且是奇函數，∴，解得

此時，滿足，即是奇函數．

∴． …… 4分

(Ⅱ) 任取，且，則，，

于是

即，故函數在上是增函數． …… 8分

（Ⅲ）由及是奇函數，知

又由在上是增函數，得，即對任意的恒成立

∵當時，取最小值，∴ …… 12分