Question

如圖，△ABC外接圓半徑R=

14 3

3

，∠ABC=120^o，BC=10，弦BC在x軸上且y軸垂直平分BC邊，則過點A且以B、C為焦點的雙曲線的方程為（　�。�

• A、

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• B、

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• C、

  x2

  12

  -

  y2

  13

  =1
• D、

  x2

  15

  -

  y2

  10

  =1

Answer 1

分析：首先結合條件由正弦定理求出|AC|，再通過余弦定理解出|AB|，然后設出雙曲線的標準方程，則由它的性質|AC|-|AB|=2a易得a，B、C為焦點易得c，進而求得b，此時雙曲線方程解決．

解答：解：由正弦定理得

|AC|

sin120°

=2R，所以|AC|=2×

14 3

3

×

3

2

=14，
由余弦定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²-2|AB||BC|cos∠ABC，
即|AB|²+10|AB|-96=0，解得|AB|=6，
依題意設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則|BC|=2c=10，|AC|-|AB|=2a=14-6=8，
所以c=5，a=4，則b²=c²-a²=9，
因此所求雙曲線的方程為

x2

16

-

y2

9

=1．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質，同時考查正弦定理、余弦定理等知識．