Question

設函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示坐標原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

，θ_n是

an

與

i

的夾角，（其中

i

=(1，0)），設S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n，則

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：設函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示坐標原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），則能推導出S_n=

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

，由此能導出

lim

n→∞

Sn．

解答：解：設函數f(x)=

1

x+1

，點A₀表示坐標原點，點A_n（n，f（n））（n∈N^*），
若向量

an

=

A0A1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

A0An

，
θ_n是

an

與

i

的夾角，
tanθn=

1 n+1

n

=

1

n(n+1)

（其中

i

=(1，0)），
設S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

，
則

lim

n→∞

Sn=1．

點評：本題考查數列的極限和運算，解題時要注意三角函數的靈活運用．