Question

如圖，在△OAB中，

OC

=

1

3

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD與BC交于點M，
設

OA

=

a

，

OB

=

b

，
（1）試用向量

a

和

b

表示

OM

；
（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，

OE

=λ

OA

，

OF

=μ

OB

，求證：

1

λ

+

2

μ

=5．

Answer 1

分析：由A，M，D三點共線可得存在實數t使得

OM

=t

OA

+(1-t)

OD

=t

a

+（1-t）•

1

2

b

=

1-t

2

b

+t

a

同理由C，M，B三點共線可得存在實數λ使得

OM

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=λ

b

+

1-λ

3

a

，根據向量的基本定理可建立關于t，λ的方程，求解即可
（2）設

OM

=x

OE

+y

OF

=xλ

a

+yμ

b

由（1）可得

xλ= 1 5 yμ= 2 5 x+y=1

，從而可求

解答：解：（1）∵

OA

=

a

，

OB

=

b

由A，M，D三點共線可得存在實數t使得

OM

=t

OA

+(1-t)

OD

=t

a

+（1-t）•

1

2

b

=

1-t

2

b

+t

a

同理由C，M，B三點共線可得存在實數λ使得

OM

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=λ

b

+

1-λ

3

a

∴

λ= 1-t 2 t= 1-λ 3

∴λ=

2

5

，t=

1

5

∴

OM

=

1

5

a

+

2

5

b

（2）設

OM

=x

OE

+y

OF

=xλ

a

+yμ

b

xλ= 1 5 yμ= 2 5 x+y=1

?

x= 1 5λ y= 2 5μ x+y=1

?

1

λ

+

2

μ

=5

點評：本題主要考查了平面向量的共線定理的應用：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數λ，μ使得

OC

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1；還考查了向量的基本定理的應用．