Question

定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]時，f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]，代入[0，2]時f（x）的解析式，再根據f（x+4）=9f（x）求出在[-4，-2]上f（x）的解析式，將f（x）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立轉化成

3

t

-t≤

1

2

（x²+6x+8）_min=-

1

2

即可，求出t的取值范圍即可．

解答：解：設x∈[-4，-2]，則x+4∈[0，2]
f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8=3f（x+2）=9f（x）
即f（x）=

1

9

（x²+6x+8）
∵f（x）=

1

9

（x²+6x+8）≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立
∴

3

t

-t≤

1

2

（x²+6x+8）_min=-

1

2

解得：t∈[-

3

2

，0）∪[2，+∞）
故答案為：[-

3

2

，0）∪[2，+∞）

點評：本題主要考查了函數最值的應用，以及函數解析式的求解及常用方法，本題解題的關鍵將區間[-4，-2]轉化到區間[0，2]，易錯在直接代入解析式計算，沒有弄清在每一段的函數解析式不一樣．