Question

已知函數的最大值為2．
（1）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；
（2）△ABC中，，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；
（2）由（1）確定的f（x）解析式化簡f（A-）+f（B-）=4sinAsinB，再利用正弦定理化簡，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）²-3ab-9=0②，將①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），
∴f（x）的最大值為，
∴=2，
又m＞0，∴m=，
∴f（x）=2sin（x+），
令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
則f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[，π]；
（2）設△ABC的外接圓半徑為R，由題意C=60°，c=3，得====2，
化簡f（A-）+f（B-）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，
由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，
由余弦定理得：a²+b²-ab=9，即（a+b）²-3ab-9=0②，
將①式代入②，得2（ab）²-3ab-9=0，
解得：ab=3或ab=-（舍去），
則S_△ABC=absinC=．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．