Question

已知命題P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0的解集為{x|0＜x＜1}；命題Q：在三角形ABC中，∠A＞∠B是cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立的必要而非充分條件，則（　　）

• A、P真Q假
• B、P且Q為真
• C、P或Q為假
• D、P假Q(mào)真

Answer 1

分析：此題和對數(shù)不等式與三角不等式相聯(lián)系考查的是判斷命題的真假問題．在解答時，對于命題P應(yīng)充分考慮對數(shù)不等式的特點(diǎn)，先講0變成以10為底的對數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性找到變量的范圍，同時注意對數(shù)自身對變量的要求．對于命題Q應(yīng)先對三角形式進(jìn)行降冪，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性找到變量∠A、∠B的關(guān)系．

解答：解：由命題P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0，可知lg[x（1-x）+1]＞lg1．∴x（1-x）+1＞1，∴0＜x＜1，即不等式的解為{x|0＜x＜1}；所以命題P為真命題．由命題Q知，若cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

），即sinA＞sinB，∴∠A＞∠B；反之，在三角形中若∠A＞∠B則必有sinA＞sinB，即cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立，所以命題Q為假命題．
故選A．

點(diǎn)評：此題考查的是命題真假、對數(shù)不等式和三角不等式的綜合問題．在解答過程中要充分體會對數(shù)自身對變量的要求，三角恒等變換知識的應(yīng)用以及命題真假判斷的規(guī)律．此題屬于較綜合類題目，值得同學(xué)們總結(jié)歸納．