Question

已知函數f（x）在（0，+∞）上滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在定義域內是減函數．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2a-3）＜0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）在（0，+∞）上滿足f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，能求出f（1）=0．
（2）由f（x）在定義域內是減函數，f（2a-3）＜0=f（1），知

2a-3＞0 2a-3＞1

，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）在（0，+∞）上滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）∵f（x）在定義域內是減函數，f（2a-3）＜0=f（1），
∴

2a-3＞0 2a-3＞1

，解得a＞2．
∴a的取值范圍是（2，+∞）．

點評：本題考查抽象函數的性質及其應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．