Question

根據下列條件分別求出函數f（x）的解析式
觀察法：（1）f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

求f（x）；
換元法：（2）f（x-2）=x²+3x+1求f（x）；
待定系數法：（3）已知f（x）是一次函數，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
復合函數的解析式：（4）已知f（x）=x²-1，g(x)=

x+1

，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定義域．

Answer 1

分析：（1）根據式子(x+

1

x

)2=x2+

1

x2

-2將函數解析式進行變形，再把“x+

1

x

”換成x，注意x的范圍；
（2）設t=x-2，則x=t+2，把x代入函數解析式化簡后，把t換成x；
（3）設出函數的解析式f（x）=ax+b，代入題中的關系式整理后，使方程兩邊項的系數對應相等，求出a、b的值；
（4）由題意，求f[g（x）]]時把g（x）作為自變量x代入f（x）的解析式，化簡并整理注意求出x的范圍，
用同樣的方法求g[f（x）]的解析式．

解答：解：（1）∵f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2，∴f（x）=x²-2（x≠0）；

（2）設t=x-2，則x=t+2，代入得：f（t）=（t+2）²+3（t+2）+1=t²+7t+11，
∴f（x）=x²+7x+11；

（3）由題意設f（x）=ax+b，
∵3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3a（x+1）+3b-2a（x-1）-2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，
則a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．

（4）∵f（x）=x²-1，g(x)=

x+1

（x≥-1），
∴f[g（x）]]=x+1-1=x（x≥-1），
∵x²-1≥-1，
∴g[f（x）]=

x2-1+1

=|x|，且定義域是[-1，+∞）．

點評：本題的考點是求函數的解析式的方法，考查了觀察法、換元法、待定系數法，求復合函數的解析式時用了代入法，注意求出函數的定義域和每種方法適用的范圍．