Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的任一點（D與B，C不重合），
且|

AB

|²=|

AD

|²+|

BD

|•|

DC

|，試建立適當的直角坐標系，證明：△ABC為等腰三角形．

Answer 1

分析：根據三角形的特點以一個頂點為原點，以一條邊為坐標軸建立直角坐標系，由條件求出各點的坐標，代入向量的式子，根據向量模的運算進行化簡，在求出三角形的邊長，即證出結論．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，
則B（0，0），C（c，0），A（a，b），
D（x，0）（0＜x＜c）
∴

AB

=（-a，-b），

AD

=（x-a，-b），

BD

=（x，0），

DC

=（c-x，0），
∵|

AB

|²=|

AD

|²+|

BD

|•|

DC

|
∴a²+b²=（a-x）²+b²+x•（c-x）
∴a²+b²=a²+x²-2ax+cx-x²，
∴2ax=cx
∵0＜x＜c，∴2a=c，
∴|

AB

|=a²+b²，|

AC

|=（a-c）²+b²=a²+b²=|

AB

|，
∴△ABC為等腰三角形．

點評：本題考查了利用向量的數量積運算以及向量的坐標運算求向量的模，主要建立坐標系利用圖形中的垂直條件，盡量把點放在坐標軸上．