Question

已知函數f(x)＝ (a是常數且a>0)．對于下列命題：
①函數f(x)的最小值是－1；
②函數f(x)在R上是單調函數；
③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，則a的取值范圍是a>1；
④對任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f()<.
其中正確命題的所有序號是________．

Answer 1

①③④

作出函數f(x)的圖象如圖所示，顯然f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，所以函數f(x)的最小值為f(0)＝－1，故命題①正確；

顯然，函數f(x)在R上不是單調函數，②錯誤；
因為f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，故函數f(x)在[，＋∞)上的最小值為f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，則a－1>0，即a>1，故③正確；
由圖象可知，在(－∞，0)上，對任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f()<成立，故④正確．