Question

已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0．若雙曲線的焦距是2

3

，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：根據題意，設雙曲線的標準方程為4x²-9y²=λ（λ≠0）．再由λ的正負進行討論，化成標準方程并建立關于λ的等式，解出λ的值即可得到該雙曲線的標準方程．

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，
∴設雙曲線的標準方程為（2x+3y）（2x-3y）=λ（λ≠0），
即4x²-9y²=λ，
①當λ＞0時，化成標準方程為

x2

λ 4

-

y2

λ 9

=1，
∵雙曲線的焦距是2

3

，∴c=

3

，得

λ

4

+

λ

9

=c2=3，解之得λ=

108

13

∴此時雙曲線的標準方程為

x2

27 13

-

y2

12 13

=1；
②當λ＞0時，類似①的方法求得雙曲線的標準方程為

y2

12 13

-

x2

27 13

=1．
綜上所述，雙曲線的標準方程為

x2

27 13

-

y2

12 13

=1或

y2

12 13

-

x2

27 13

=1．

點評：本題給出雙曲線的漸近線方程和焦距，求雙曲線的方程．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．