Question

如圖，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=

2

5

，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為

a

2

萬元/km、當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l²+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=

3

(km)．
（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；
（Ⅱ）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′，E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（Ⅱ）中得到的最小總造價，證明你的結論、

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小．這是一個實際應用題，需要先把復雜的圖形轉化為清晰的幾何圖形，然后設BD=x（km）．根據幾何關系列出總造價為f₁（x）的函數表達式，再根據配方法求出最小值即為所求．
對于（Ⅱ）對于（Ⅰ）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．設AE=y（km），0≤y≤

5

4

，總造價為f₂（y）萬元，求出總造價的f₂（y）的函數表達式，求出其導函數的方法，通過判斷在區間上正負問題，討論區間單調性．然后根據單調性求極值即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）如圖，PH⊥α，HB?α，PB⊥AB，
由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡與α所成二面角的平面角，
則∠PBH=θ，PB=

PH

sinθ

=1．
設BD=x（km），0≤x≤1.5，
則PD=

x2+PB2

=

x2+1

∈[1，2]．
記總造價為f₁（x）萬元，
據題設有f1(x)=(PD2+1+

1

2

AD+AO)a=(x2-

1

2

x+

11

4

+

3

)a=(x-

1

4

)2a+(

43

16

+

3

)a
當x=

1

4

，即BD=

1

4

(km)時，總造價f₁（x）最小．
（Ⅱ）設AE=y（km），0≤y≤

5

4

，總造價為f₂（y）萬元，
根據題設有f2(y)=[PD2+1+

y2+3

+

1

2

(

3

2

-

1

4

-y)]a=(

y2+3

-

y

2

)a+

43

16

a、
則f2′(y)=(

y

y2+3

-

1

2

)a，由f₂′（y）=0，得y=1．
當y∈（0，1）時，f₂′（y）＜0，f₂（y）在（0，1）內是減函數；
當y∈(1，

5

4

)時，f₂′（y）＞0，f₂（y）在(1，

5

4

)內是增函數．
故當y=1，即AE=1（km）時總造價f₂（y）最小，且最小總造價為

67

16

a萬元．

點評：此題主要考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．