Question

某集團準備興辦一所中學，投資1200萬元用于硬件建設．為了考慮社會效益和經濟利益，對該地區教育市場進行調查，得出一組數據列表（以班為單位）如下：

	班級學生數	配備教師數	硬件建設（萬元）	教師年薪（萬/人）
初中	60	2.0	28	1.2
高中	40	2.5	58	1.6

根據有關規定，除書本費、辦公費外，初中生每年可收取學費600元，高中生每年可收取學費1500元．因生源和環境等條件限制，辦學規模以20至30個班為宜．根據以上情況，請你合理規劃辦學規模使年利潤最大，最大利潤多少萬元？（利潤=學費收入-年薪支出）

Answer 1

【答案】分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．設初中x個班，高中y個班，年利潤為s，根據題意找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．
解答：解：設初中x個班，高中y個班，則
設年利潤為s，則
s=60×0.06x+40×0.15y-2×1.2x-2.5×1.6y
=1.2x+2y
作出①、②表示的平面區域，如上圖，易知當直線1.2x+2y=s過點A時，s有最大值．
由解得A（18，12）
∴s_max=1.2×18+2×12=45.6（萬元）．
即學校可規劃初中18個班，高中12個班，可獲得最大年利潤為45.6萬元．
點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．