Question

（本小題滿分12分）

已知函數,,設．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若以函數圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值；

（Ⅲ）是否存在實數m,使得函數的圖像與函數的圖像恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) 的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

(2)

(3) 當時，的圖象與的圖象恰有四個不同的交點

【解析】

試題分析：解：（I），

∵，由，∴在上單調遞增。

由，∴在上單調遞減。

∴的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

（II），

恒成立

當時，取得最大值。

∴，∴

（III）若的圖象與的圖象恰有四個不同得交點，即有四個不同的根，亦即有四個不同的根。

令，

則

當x變化時，、的變化情況如下表：

x
的符號	＋	－	＋	－
的單調性

由表格知：，

畫出草圖和驗證可知，當時，與恰有四個不同的交點。

∴當時，的圖象與的圖象恰有四個不同的交點。

考點：導數與函數，函數與方程的綜合運用

點評：解決該試題的關鍵是能結合導數的符號判定函數單調性，以及函數的最值，進而得到求解。同時對于方程根的問題，轉換為圖像與x軸的交點個數來處理，屬于中檔題。