Question

(本小題滿分13分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD^底面ABCD，PD＝DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF^PB交PB于點(diǎn)F，

 

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求證：PB^平面EFD；

(3)求二面角C-PB-D的大小。

 

Answer 1

【答案】

解：如右圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC＝1。

 

 

 

(1)證明：連結(jié)AC, AC交BD于點(diǎn)G，連結(jié)EG.

依題意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0，，).

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以點(diǎn)G是此正

方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，，0)，

且＝(1,0,-1)，＝(,0,- ).

所以＝2，即PA//EG.

而EGÌ平面EDB, 且PAË平面EDB,

因此PA//平面EDB.……………………4分

(2)證明：依題意得

B(1, 1, 0)，＝(1,1, -1)

又＝(0, , )，

故×＝0＋－＝0，所以PB^DE.

由已知EF^PB，且EF∩DE＝E，所以PB^平面EFD.………………8分

(3)解：已知PB^EF，由(2)可知PB^DF，故ÐEFD是二面角C-PB-D的平面角，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x, y, z–1).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052203254626562884/SYS201205220327005156360054_DA.files/image007.png">＝k，

所以(x, y, z-1)＝k(1, 1, -1)＝(k, k, -k)，即x＝k，y＝k，z＝1-k.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052203254626562884/SYS201205220327005156360054_DA.files/image007.png">•＝0，

所以(1, 1, -1) • (k, k, 1-k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.

所以k＝，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,, ).

又點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, , ).

所以＝(－，，–).

 

 

 

所以ÐEFD＝60°，即二面角C-PB-D的大小為60°。………………13分

【解析】略