Question

【題目】(1)若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) a=0或a=.

（2）(-4,0).

【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，即有唯一解，則，綜合可得答案；

（2）設(shè)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：(1)若a=0,則f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合題意;

若a≠0,則f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),

故有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于Δ=1+4a=0,

解得a=,

綜上所述a=0或a=.

(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4個(gè)零點(diǎn),

即|4x-x2|+a=0有四個(gè)根,即|4x-x2|=-a有四個(gè)根.

令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.

作出g(x)的圖象,由圖象可知如果要使|4x-x2|=-a有四個(gè)根,

那么g(x)與h(x)的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn).故需滿足0<-a<4,即-4<a<0.

所以a的取值范圍是(-4,0).