Question

如下圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點A(2，0)，B(0，1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e＝，

(1)求橢圓的方程；

(2)設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|²＝|AF₁||AF₂|．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解析：過A、B的直線方程為＋y＝1， 　　因為由題意得有唯一解， 　　即(b2＋a2)x2－a2x＋a2－a2b2＝0有唯一解， 　　所以Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0(ab≠0)． 　　故a2＋4b2－4＝0． 　　又因為c＝，即＝， 　　所以a2＝4b2．從而得a2＝2，b2＝，故所求的橢圓方程為＝1． 　　(2)證明：由(1)得c＝，所以F1(－，0)，F2(，0)， 　　由解得x1＝x2＝1， 　　因此T(1，)． 　　從而|AT|2＝， 　　因為|AF1|·|AF2|＝， 　　所以|AT|2＝|AF1|·|AF2|．