Question

在平面直角坐標(biāo)上有一點(diǎn)列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n）…，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)P_n在函數(shù)
y=3x+

13

4

的圖象上，且P_n的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-

5

2

為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）求點(diǎn)P_n的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)拋物線列C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，拋物線C_n的頂點(diǎn)為P_n，且過點(diǎn)D_n（0，n²+1），記與拋物線C_n相切于點(diǎn)D_n的直線的斜率為K_n，求

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

knkn+1

的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得x_n，進(jìn)而代入直線方程求得y_n，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
（II）先設(shè)出C_n的方程，把D點(diǎn)代入求得a，進(jìn)而對函數(shù)進(jìn)行求得求得切線的斜率，即k_n的表達(dá)式，進(jìn)而用裂項(xiàng)法求得

1

k1k2

+

1

k2k3

+…+

1

kn-1kn

解答：解：（1）∵xn=-

5

2

+(n-1)×(-1)=-n-

3

2

，
∴yn=3xn+

13

4

=-3n-

5

4

．
∴Pn(-n-

3

2

，-3n-

5

4

)．
（2）∵C_n的對稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為P_n，
∴設(shè)C_n的方程為 y=a(x+

2n+3

2

)2-

12n+5

4

．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴

1

kn-1kn

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

(2n+1)

-

1

(2n+3)

]，
∴

1

k1k2

+

1

k2k3

+

1

kn-1kn

=

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

1

10

-

1

4n+6

．

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，一般先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法．常見的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組法．