Question

如圖，已知M、N、P、Q分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．
求證：（1）線段MP和NQ相交且互相平分；
（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

Answer 1

證明：（1）∵M、N是AB、BC的中點，∴MN∥AC，MN=

1

2

AC．
∵P、Q是CD、DA的中點，∴PQ∥CA，PQ=

1

2

CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四邊形．
∴□MNPQ的對角線MP、NQ相交且互相平分．

（2）由（1），AC∥MN．記平面MNP（即平面MNPQ）為α．顯然AC?α．
否則，若AC?α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，則A、B、C、D∈α，
與已知四邊形ABCD是空間四邊形矛盾．
又∵MNìα，∴AC∥α，
又AC?α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD?平面MNP，NP?平面MNP
∴BD∥平面MNP．