Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，它的準線經過雙曲線：的左焦點且垂直于的兩個焦點所在的軸，若拋物線與雙曲線的一個交點是．
（1）求拋物線的方程及其焦點的坐標；
（2）求雙曲線的方程及其離心率．

Answer 1

（1） ；（2）．

試題分析：（1）由題意可設拋物線的方程為．
把代入方程，得 
因此，拋物線的方程為．
于是焦點 
（2）拋物線的準線方程為，
所以， 
而雙曲線的另一個焦點為，于是 
 
因此，         
又因為，所以．
于是，雙曲線的方程 為 
因此，雙曲線的離心率．
點評：基礎題，圍繞的定義、標準方程及幾何性質而命制的題目較為常見，a,b,c,e的關系要清楚。