Question

木工技藝是我國傳統文化瑰寶之一，體現了勞動人民的無窮智慧．很多古代建筑和家具不用鐵釘，保存到現代卻依然牢固，這其中，有連接加固功能的“楔子”發揮了重要作用；如圖，是一個楔子形狀的直觀圖．其底面ABCD為一個矩形，其中AB=6，AD=4．頂部線段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6

2

，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值為

17

17

，設M，N是AD，BC的中點，
（1）證明：BC⊥平面EFNM；
（2）求平面BEF和平面CEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）根據EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，如圖1，又平面ABCD∩平面EFAB=AB，根據線面平行的性質定理推斷出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，推斷出MN∥AB，進而可知EF∥MN，推斷出E，F，M，N四點共面．根據FB=FC，推斷出BC⊥FN，又BC⊥MN，根據線面垂直的判定定理推斷出，BC⊥平面EFNM．
（2）在平面EFNM內F做MN的垂線，垂足為H，則由第 （1）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，進而可知FH⊥平面ABCD，又因為FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F-BC-A的平面角為∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分別求得FN和HN，過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接，FN，FS，FQ，由作圖2可知，AB⊥SQ，AB⊥FH推斷出AB⊥平面FSQ，由第（1）問，EF∥AB進而可知EF⊥平面FSQ，進而可知∠SFQ是要求二面角B-EF-C的平面角．在△SFQ中，求得tan∠FSQ，進而根據兩角和與差的正切函數求得tan∠SFQ，則cos∠SFQ．

解答： 解：（1）∵EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，如圖1
又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB（線面平行的性質定理）．
又M，N是平行四形ABCD兩邊AD，BC的中點，
∴MN∥AB，
∴EF∥MN，
∴E，F，M，N四點共面．
∵FB=FC，
∴BC⊥FN，
又∴BC⊥MN，且

FN?平面EFNM MN?平面EFNM FN∩MN=N

，
∴BC⊥平面EFNM．
（2）在平面EFNM內F做MN的垂線，垂足為H，則由第 （1）問可知：BC⊥平面EFNM，則平面ABCD⊥平面EFNM，
所以FH⊥平面ABCD，
又因為FN⊥BC，HN⊥BC，則二面角F-BC-A的平面角為∠FNH．
在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=

FB2-BN2

=

68

，HN=FNcos∠FNH=

68

•

17

17

=2FH=8，
過H做邊AB，CD的垂線，垂足為S，Q，連接，FN，FS，FQ，
由作圖2可知，AB⊥SQ，AB⊥FH⇒AB⊥平面FSQ，
由第（1）問，EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，
∴∠SFQ是要求二面角B-EF-C的平面角．
在△SFQ中，tan∠FSQ=tan∠FQS=

8

2

=4，

∴tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-

tan∠FSQ+tan∠FQS

1-tan∠FSQ•tan∠FQS

=

8

15

，
∴cos∠SFQ=

15

17

，即二面角B-EF-C的余弦值是

15

17

．

點評：本題主要考查了空間點，線面的位置關系，空間的角和體積的計算．考查學生的空間想象能力和運算能力．新課標對立體幾何的教學要求中，特別提到了“感知”空間幾何體，本題也是基于這種理念，讓大家感知一個生活中實實在在的幾何體；立體幾何作為傳統穩定的版塊，要在證明位置關系和角，距離，體積的計算方面練好扎實的基本功外，我們也要注意一些高考新動向，命題給人一種命題者希望穩定推進的過程中對這部分進行的新嘗試，因為，畢竟立體幾何是幾大傳統版塊中，新教材變動最多的地方之一．