Question

19、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：DC∥平面PAB；
（2）求證：PO⊥平面ABCD；
（3）求證：PA⊥BD．

Answer 1

分析：（I）由已知中四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，易得AB∥CD，進而由線面平行的判定定理得到答案．
（II）根據等腰三角形的性質及面面垂直的性質，可以得到PO⊥平面ABCD；
（III）根據（II）的結論，我們可判斷出Rt△ABO≌Rt△BCD，結合全等三角形性質，得到BD⊥AO，BD⊥PO，根據線面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAO，再由線面垂直的性質即可得到PA⊥BD．

解答：證明：（Ⅰ）由題意，AB∥CD，CD?平面PAB，
AB?平面PAB，
所以DC∥平面PAB…（4分）
（Ⅱ）因為PB=PC，O是BC的中點，
所以PO⊥BC，
又側面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD；…（8分）
（Ⅲ）因為BD?平面ABCD，由（2）知PO⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△BCD中，
AB=BC=2，BO=CD=1，∠ABO=∠BCD=90°，
所以Rt△ABO≌Rt△BCD，故∠BA0=∠CBD，
即∠BA0+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
所以BD⊥AO，又AO∩PO=O，
所以BD⊥平面PAO，故PA⊥BD．…（12分）

點評：本題考查的知識點是線面平面的判定，線面垂直的判定，線線垂直的判定，其中（1）的關鍵是得到AB∥CD，（2），（3）的關鍵是熟練掌握線線、線面、面面垂直之間的相互轉化．