Question

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

Answer 1

分析：類比橢圓的性質可得：若M、N是雙曲線C′上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值

b2

a2

．設P（m，n）是雙曲線C′上的任意一點，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上的關于原點對稱的兩個點．利用

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，及斜率計算公式即可證明．

解答：解：若M、N是雙曲線C′：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上關于原點對稱的兩個點，P是雙曲線上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值

b2

a2

．證明如下：
設P（m，n）是雙曲線C′上的任意一點，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）是雙曲線上的關于原點對稱的兩個點．
則

m2

a2

-

n2

b2

=1，

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，
∴n2-

y

2 0

=b2(

m2

a2

-1)-b2(

x 2 0

a2

-1)=

b2

a2

(m2-

x

2 0

)．
∴k_PM•k_PN=

n-y0

m-x0

•

n+y0

m+x0

=

n2- y 2 0

m2- x 2 0

=

b2

a2

為定值．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、斜率計算公式，屬于中檔題．