Question

對于數列{u_n}，若存在常數M＞0，對任意的（n∈N^*），恒有|u_n+1-u|+|u_n+u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M，則稱數列{u_n}為B-數列．
（1）首項為1，公比為-

1

2

的等比數列是否為B-數列？請說明理由；
（2）設{s_n}是數列{x_n}的前n項和．給出下列兩組判斷：
A組：①數列{x_n}是B-數列，②數列{x_n}不是B-數列；
B組：③數列{s_n}是B-數列，④數列{s_n}不是B-數列．
請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題．判斷所給命題的真假，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設滿足題設的等比數列為a_n，則an=(-

1

2

)n-1．于是|an-an-1|  =|(-

1

2

)n-1-(-

1

2

)n-2|=

3

2

×(

1

2

)n-2n≥2，由此可知首項為1，公比為-

1

2

的等比數列是B-數列．
（2）命題1：若數列x_n是B-數列，則數列S_n是B-數列．此命題為假命題．根據B-數列的性質可以進行證明．
命題2：若數列S_n是B-數列，則數列x_n不是B-數列．此命題為真命題．根據B-數列的性質可以進行證明．

解答：解：（1）設滿足題設的等比數列為a_n，
則an=(-

1

2

)n-1．
于是|an-an-1|  =|(-

1

2

)n-1-(-

1

2

)n-2|=

3

2

×(

1

2

)n-2n≥2
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|

=

3

2

×[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]
=3×[1-(

1

2

)n] ＜3，所以首項為1，公比為-

1

2

的等比數列是B-數列．
（2）命題2：若數列x_n是B-數列，
則數列S_n是B-數列．此命題為假命題．
事實上設x_n=1（n∈N^*），易知數列x_n是B-數列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．
由n的任意性知，數列S_n不是B-數列．
命題2：若數列S_n是B-數列，
則數列x_n不是B-數列．此命題為真命題．
事實上，因為數列S_n是B-數列，
所以存在正數M，對任意的n∈N^*，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M，
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+|x₁|≤2M+|x₁|，
所以數列x_n是B-數列．

點評：本題考查數列知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細計算．