Question

時下，網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價格x（單位：元/套）滿足的關系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m為常數．已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套．
（1）求m的值；
（2）假設網校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數），試確定銷售價格x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（保留1位小數）

Answer 1

分析：（1）利用銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套，代入關系式，即可求得m的值；
（2）確定每日銷售套題所獲得的利潤，利用導數的方法求最值，從而可得銷售價格x的值．

解答：解：（1）因為銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套，所以x=4時，y=21，
代入關系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，得

m

2

+16=21，
解得m=10．
（2）由（1）可知，套題每日的銷售量y=

10

x-2

+4(x-6)2，
所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)=(x-2)[

10

x-2

+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2＜x＜6)，
從而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）．
令f'（x）=0，得x=

10

3

，且在(2，

10

3

)上，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；在(

10

3

，6)上，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
所以x=

10

3

是函數f（x）在（2，6）內的極大值點，也是最大值點，
所以當x=

10

3

≈3.3時，函數f（x）取得最大值．
故當銷售價格為3.3元/套時，網校每日銷售套題所獲得的利潤最大．

點評：本題考查函數模型的構建，考查學生利用導數的知識求解最值問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．