Question

(本小題滿分14分)已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前項和．

（1）求、和；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有

的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，．

（2）的取值范圍是．

（3）當且僅當， 時，數列中的成等比數列．

【解析】本試題主要是考查了數列通項公式與前n項和之間的關系的運用以及分類討論思想求解最值。

（1）利用 a_n²=S_2n-1，n取1或2，可求數列的首項與公差，從人體可得數列的通項，進而可求數列的和；

（2）分類討論，分離參數，求出對應函數的最值，即可求得結論．

（3）根據已知值成等比數列，可知參數m的范圍，然后利用m是整數，得到值。

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即       ………………………2分

解得，，                        …………………3分

．

，

．        ……………………5分

（法二）是等差數列，

．                …………………………2分

由，得 ，                        

又，，則．               …………………3分

(求法同法一)

（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………6分

 ，等號在時取得．           

此時 需滿足．                …………………………7分

②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．        ……………………………8分

 是隨的增大而增大， 時取得最小值．

此時 需滿足．                …………………………9分

綜合①、②可得的取值范圍是．   …………………………10分

（3），

 若成等比數列，則，即．11分

（法一）由，　　可得，

即，  　　　……………………12分

．     ……………………13分

又，且，所以，此時．

因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列．…………14分

（法二）因為，故，即，

，（以下同上）．…………………13分