Question

設直線3x+4y-5=0與圓C₁：x²+y²=4交于A，B兩點，若圓C₂的圓心在線段AB上，且圓C₂與圓C₁相切，切點在圓C₁的劣弧上，則圓C₂的半徑的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據圓C₁的方程找出圓心坐標與半徑R的值，找出圓C₂的半徑的最大時的情況：當圓c₂的圓心Q為線段AB的中點時，圓c₂與圓C₁相切，切點在圓C₁的劣弧上，設切點為P，此時圓C₂的半徑r的最大．求r的方法是，聯立直線與圓的方程，消去y后得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出Q的橫坐標，把Q的橫坐標代入直線方程即可求出Q的縱坐標，得到Q的坐標，利用兩點間的距離公式求出兩圓心的距離OQ等于d，然后根據兩圓內切時，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減可得圓C₂的半徑最大值．
解答：解：由圓C₁：x²+y²=4，可得圓心O（0，0），半徑R=2
如圖，當圓c₂的圓心Q為線段AB的中點時，圓c₂與圓C₁相切，切點在圓C₁的劣弧上，設切點為P，此時圓C₂的半徑r的最大．
聯立直線與圓的方程得，消去y得到25x²-30x-39=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，所以線段AB的中點Q的橫坐標為，把x=代入直線方程中解得y=，
所以Q（，），則兩圓心之間的距離OQ=d==1，
因為兩圓內切，所以圓c₂的最大半徑r=R-d=2-1=1
故答案為：1
點評：此題考查學生掌握兩圓內切時兩半徑所滿足的條件，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．