Question

（本小題滿分14分） 已知函數圖象上一點處的切線方程為．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于，(其中)，的中點為，求證：在處的導數．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得．……… 3分

（Ⅱ），令，

則，令，得（舍去）．

在內，當時，， ∴ 是增函數；

當時，，   ∴  是減函數          ……………… 5分

則方程在內有兩個不等實根的充要條件是……6分

即．…… 8分

（Ⅲ），．

假設結論不成立，則有 …… 9分

①－②，得．∴．…… 10分

由④得，∴  …… 11分

即，即．⑤  

令，（)，  … 12分

則＞0．∴在上增函數， ∴，… 13分

∴⑤式不成立，與假設矛盾．∴．… 14分