Question

12、定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，且函數f（x+1）為奇函數．給出下列結論：
①函數f（x）的最小正周期為4；
②函數f（x）的圖象關于（1，0）對稱；
③函數f（x）的圖象關于x=2對稱；
④函數f（x）的最大值為f（2）．其中正確命題的序號是（　　）

A、①②

B、②③

C、③④

D、①④

Answer 1

分析：由f（x+2）+f（x）=0可變形為f（x+4）=-f（x+2）=f（x）符合周期函數的定義，由函數f（x+1）為奇函數結合其定義可得到f（1-x）=-f（1+x），再變形為f（2-x）=-f（x）符合點對稱的定義從而得解．

解答：解：由f（x+2）+f（x）=0
可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
∴其周期是4
由函數f（x+1）為奇函數
可得f（1-x）=-f（1+x）
可變形為：f（2-x）=-f（x）
可知函數f（x）圖象關于點（1，0）對稱
故選A

點評：本題主要考查抽象函數中一些主條件的變形，來考查函數有關性質，方法往往是緊扣性質的定義．