Question

平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不同時為o的實數k和x，使

m

=

a

+(x2-3)

b

，

n

=-k

a

+x

b

，

m

⊥

n

．
（Ⅰ）試求函數關系式k=f（x）．
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的f（x），設h（x）=4f（x）-ax²在[1，+∞）上是單調函數．
①求實數a的取值范圍；
②當a=-1時，如果存在x₀≥1，h（x₀）≥1，且h（h（x₀））=x₀，求證：h（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

⊥

n

得

m

•

n

=0，把向量坐標代入化簡整理即得答案；
（Ⅱ）①由h（x）在[1，+∞）上是單調函數及h′（x）的表達式，得h′（x）=3x²-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數后轉化為函數最值即可解決；
②反證法：易判斷h（x）在[1，+∞）上為單調增函數，假設1≤x₀＜h（x₀），由單調性可導出矛盾，同理1≤h（x₀）＜x₀也不成立；

解答：解：（Ⅰ）

a

2=4，

b

2=1，

a

•

b

=0，
由

m

=

a

+(x2-3)

b

，

n

=-k

a

+x

b

，且

m

⊥

n

．
得

m

•

n

=[

a

+(x2-3)

b

]•（-k

a

+x

b

）=-k

a

2+x

a

•

b

-k（x²-3）

b

•

a

+x（x²-3）

b

2=-4k+x（x²-3）=0，
所以k=

x3-3x

4

，即k=f（x）=

x3-3x

4

；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，h（x）=4f（x）-ax²=x³-3x-ax²，h′（x）=3x²-3-2ax，
因為h（x）在[1，+∞）上是單調函數，所以h′（x）=3x²-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，
亦即a≤

3

2

x-

3

2x

在[1，+∞）上恒成立，
因為

3

2

x遞增，-

3

2x

遞增，所以

3

2

x-

3

2x

在[1，+∞）上遞增，
所以

3

2

x-

3

2x

≥

3

2

-

3

2

=0，
故a≤0，所以實數a的取值范圍為a≤0；
②當a=-1時，h（x）=x³-3x+x²，h′（x）=3x²-3+2x，
當x≥1時，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，+∞）上為單調增函數．
若1≤x₀＜h（x₀），則h（x₀）＜h（h（x₀））=x₀矛盾，若1≤h（x₀）＜x₀，則h（h（x₀））＜h（x₀），即x₀＜h（x₀），矛盾，
故只有h（x₀）=x₀成立；

點評：本題考查平面向量數量積的運算、利用導數研究函數的單調性，考查學生的運算能力及分析解決問題的能力，難度較大．