Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數，）．

（Ⅰ）當時，若曲線上存在兩點關于點成中心對稱，求直線的參數方程；

（Ⅱ）在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，極坐標方程為的直線與曲線相交于兩點，若，求實數的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由題意，得曲線的參數方程為（為參數），

消去參數，得，圓心坐標為．……………2分

∵曲線上存在兩點關于點成中心對稱，

∴，則由，得，

所以直線的傾斜角為，……………4分

所以直線的參數方程為，即（為參數）．……………6分

（Ⅱ）消去曲線的參數方程中的參數得，

圓心為，半徑為．……………7分

又直線的極坐標方程可化為，……………8分

由，代入上式，得直線的普通方程為，

所以，∴．……………10分

【命題意圖】本題考查直線的極坐標方程與直角坐標方程、圓的參數方程與普通方程的互化，以及直線與圓的位置關系，意在考查轉化能力、運算求解能力．