Question

（09 年聊城一模文）（14分）

    已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切。

   （1）求橢圓C₁的方程；

   （2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

   （3）過橢圓C₁的左頂點A做直線m，與圓O相交于兩點R、S，若是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）由                                 （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是                                        （4分）

   （2）由條件，知|MF₂|=|MP|。即動點M到定點F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是。                   （8分）

   （3）由（1），得圓O的方程是

設

得                                  （10分）

則

由        ①（12分）

因為

所以                                          ②（13分）

由A、R、S三點不共線，知。                              ③

由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是（14分）

（注：其它解法相應給分）