Question

設函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，并且滿足下面三個條件：
①對正數x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(

1

9

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（

1

9

）的值；且當x＞1時，f（x）＜0，根據函數單調性的定義討論函數的單調性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．

解答：解：（I）∵函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，
對正數x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，
得f（

1

9

）=2．
（II）設0＜x₁＜x₂＜+∞，由條件（1）可得f（x2）-f（x1）=f（

x2

x1

），
因

x2

x1

＞1，由（2）知f（

x2

x1

）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是遞減的函數．
由條件（1）及（I）的結果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
由函數f（x）在R₊上的遞減性，得：

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

，
由此解得x的范圍是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

點評：考查利用函數單調性的定義探討抽象函數的單調性問題，對于解決抽象函數的一般采用賦值法，求某些點的函數值和證明不等式等，體現了轉化的思想．