Question

如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁，F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）當△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數時，求拋物線方程；此時設⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圓心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圓，它們的圓心縱坐標分別為a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都與y軸相切，且順次逐個相鄰外切，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據所給的拋物線方程，寫出要用的兩個點，根據所給的離心率的值，求出橢圓的字母系數，寫出橢圓的方程．
（2）根據題意設出橢圓的方程，把橢圓的方程與拋物線的方程進行聯立，得到交點的坐標，根據三角形的三邊長度是連續的整數，求出m的值，后面是求解數列的通項的問題，對于遞推式的整理是本題的重點，得到結果．

解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F₂（1，0）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則c=1又e=

c

a

=

1

2

∴a=2，b=

3

∴橢圓C₂方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）因為c=m，e=

1

2

，
∴a=2m，b²=3m²，設橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1
由橢圓的方程與y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x1=

2m

3

代入拋物線方程得y1=

2 6

3

m
P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
|PF₂|=x₁+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
∵△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數，
∴m=3
此時拋物線方程為y²=12x
設Cn(

an2

12

，an)，⊙Cn半徑為 rn=

an2

12

，則由題|C_nC_n-1|=r_n+r_n-1
∴

( an2 12 - an-12 12 )2+(an-an-1)2

=

an2

12

+

an-12

12

∴

an2 • an-12

36

=an2+an-12-2an • an-1
∴

1

an2

-

2

an • an-1

+

1

an-12

=

1

36

∴(

1

an

-

1

an-1

)2=

1

36

，又 0＜an＜an-1
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

6

即{

1

an

}是以

1

6

為公差，首項

1

a1

=

1

6

的等差數列
∴

1

an

=

1

6

+(n-1)×

1

6

=

n

6

∴an=

6

n

點評：本題考查解析幾何與數列的綜合題目，題目中所應用的數列的解題思想，用到曲線與曲線之間的交點問題，本題主要考查運算，整個題目的解答過程看起來非常繁瑣，注意運算．