Question

某地西紅柿上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續上漲勢態，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌．現有三種價格模擬函數：①f（x）=a•b^x，②f（x）=ax²+bx+1，③f（x）=x（x-b）²+a，（以上三式中a，b均是不為零的常數，且b＞1）
（1）為了準確研究其價格走勢，應選擇哪種價格模擬函數，為什么？
（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數f（x）的解析式（注：函數的定義域是[0，5]）．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此類推；為保證該地的經濟收益，當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該西紅柿將在哪幾個月份內價格下跌．

Answer 1

分析：（1）由題意可知函數必須先單調遞增，再單調遞減，最后單調遞增，題中所給的三種函數模型僅有③符合，然后利用導數加以證明；
（2）將f（0）=4，f（2）=6代入函數模型，求得函數解析式，然后利用導函數求出單調減區間，結合題意即可得到答案．

解答：解：（1）依題意，符合本題函數模型的函數必須先單調遞增，再單調遞減，最后單調遞增，所以最符合的函數模型為③f（x）=x（x-b）²+a．
分析：∵f（x）=x（x-b）²+a=x³-2bx²+b²x+a．
對此函數求導，得
f′(x)=3x2-4bx+b2=3(x-b)(x-

b

3

)，
由f′（x）=0，得x1=b，x2=

b

3

．由b＞1知，
f（x）在(-∞，

b

3

]和[b，+∞）上單調遞增，在（

b

3

，b）上單調遞減，符合題意．
（2）將f（0）=4，f（2）=6代入f（x）=x（x-b）²+a=x³-2bx²+b²x+a．得

f(0)=a=4 f(2)=8-8b+2b2+4=6

，解得

a=4 b=3

．
∴f（x）=x³-6x²+9x+4（x∈[0，5]）．
f′（x）=3x²-12x+9=3（x-3）（x-1），
由（1）得f（x）在（1，3）上單調遞減，
依題意，可以預測這種西紅柿將在9，10兩月份價格下跌．

點評：本題考查了函數的模型的選擇及應用，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了利用代值法求函數解析式，屬中檔題．