Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，當(dāng)時，取得極小值.
（1）求，的值；
（2）設(shè)直線，曲線.若直線與曲線同時滿足下列兩個條件：
①直線與曲線相切且至少有兩個切點(diǎn)；
②對任意都有.則稱直線為曲線的“上夾線”.
試證明：直線是曲線的“上夾線”.
（3）記，設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，若對于定義域中任意的、，當(dāng)，且時，問是否存在一個最小的正整數(shù)，使得恒成立，若存在請求出的值；若不存在請說明理由.

Answer 1

（1），…………………………………………3分
（2）由，得，當(dāng)時，此時，，所以是直線與曲線的一個切點(diǎn)，
當(dāng)時，，，，
所以是直線與曲線的一個切點(diǎn) 
所以直線與曲線相切且至少有兩個切點(diǎn)……6分
對任意，
所以,因此直線：是曲線：的“上夾線” …9分
（3）方法一：，為的根，即，也即，………10分
而
∴，
∴……………………………13分
所以存在這樣最小正整數(shù)使得恒成立.………14分
方法二：不妨設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/3/rpe2c.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以為增函數(shù)，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/09/5/rm1z32.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以為減函數(shù)，所以
所以，……………………11分
即………13分
故存在最小正整數(shù)，使得恒成立…………………14分

解析