Question

（2011•臨沂二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為

2

，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點A，B，且l總與以原點為圓心的單位圓相切．
（I）求該橢圓的方程；
（II）當

OA

•

OB

=λ且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求S_△AOB的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由拋物線y²=4x可知焦點為（1，0），準線為x=-1，橢圓截直線x=-1所得的弦長為

2

得上交點為（-1，

2

2

），代入結合1=a²-b²可求
II）由直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切可得

|m|

1+k2

=1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8k²＞0可得k≠0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，而

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ，結合

2

3

≤λ≤

3

4

可求k的范圍，根據|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2

表示所求的面積，結合基本不等式可求

解答：解：（I）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），準線為x=-1
∵橢圓截直線x=-1所得的弦長為

2

得上交點為（-1，

2

2

），代入得

1

a2

+

1 2

b2

=1，且1=a²-b²
∴b²=1，a²=2
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（II）∵直線y=kx+m與圓x²+y²=1相切
∴

|m|

1+k2

=1即m²=k²+1
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
△=8k²＞0可得k≠0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=λ，

1+k2

1+2k2

=λ
由

2

3

≤λ≤

3

4

可得

2

3

≤

1+k2

2k2+1

≤

3

4

，即

1

2

≤k2≤1
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2

=2

2(k4+k2) 4k4+4k2+1

令u=k⁴+k²∵

1

2

≤k2≤1∴

3

4

≤u≤2，AB=2

2u 4u+1

=2

2 4+ 1 u

∈[

6

2

，

4

3

]
∴S=

1

2

AB×1=

1

2

AB∈[

6

4

，

2

3

]

點評：本題主要考查了利用橢圓與拋物線的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系的應用，方程的根與系數的關系的應用及利用基本不等式求解函數的最值，綜合性較強，運算量較大，屬于綜合試題