Question

已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．

（Ⅰ）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；

（Ⅱ）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；

（Ⅲ）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數（是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∴b=log₂9.  （Ⅱ）該函數在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0

上是增函數  （Ⅲ）當或時，取得最大值；當時取得最小值8.

【解析】本題考查函數單調性的運用，解題的關鍵在于緊扣題干所給函數的單調性的性質，并利用其解題．

(1）因為函數y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6,

∴b=log₂9

(2)利用單調性定義可知設0<x₁<x₂,y₂－y₁=，那么得到單調性的討論。

(3) 可以把函數推廣為y=(常數a>0),其中n是正整數.

當n是奇數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數；

當n是偶數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數