Question

（2012•湖南）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（Ⅰ）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可證得BD⊥平面PAC，從而證得BD⊥PC；
（2）設AC∩BD=O，連接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，于是∠DPO=30°，從而有PD=2OD，于是可證得△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而可求得梯形ABCD的高，繼而可求S_ABCD，V_P-ABCD．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD；
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內的兩條相交直線，
∴BD⊥平面PAC，而PC?平面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角，
∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO?平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為

1

2

AD+

1

2

BC=

1

2

×（4+2）=3，
于是S_ABCD=

1

2

×（4+2）×3=9．
在等腰三角形AOD中，OD=

2

2

AD=2

2

，
∴PD=2OD=4

2

，PA=

PD2-AD2

=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD×PA=

1

3

×9×4=12．

點評：本題考查直線與平面垂直判定定理與性質性質定理，考查直線與平面所成的角的應用與錐體體積，突出對分析、推理與計算能力的考查與應用，屬于中檔題．