Question

零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分

【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）==.

      （Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：,,,

,,,共有15種.

      (ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：，，共有6種.

      所以P(B)=.

（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；      

（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

Answer 1

【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力.滿分12分.

(I)解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA//ED.故為異面直線CE與AF所成的角.

因為FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.

所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.

(Ⅱ)證明：過點B作BG//CD,交AD于點G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點.取EF的中點N，連接GN，則GNEF,因為BC//AD,所以BC//EF.過點N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。

連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.

在Rt△NGM中，tan,

所以二面角B-EF-A的正切值為.