Question

用水清洗一堆蔬菜，據科學測定，其效果如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與這次清洗前殘留的農藥量之比為f(x)=

1

1+x2

．
（1）因為f（0）=

1

，所以f（0）的實際意義是

B

（后一個處請選擇下列之一）；
A．表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量；
B．表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化；
C．表示沒有用水清洗．
（2）現用a（a＞0）單位量的水去清洗一堆蔬菜，方案一：用a單位量的水清洗一次；
方案二：把a單位量的水平均分成2份后清洗兩次．試問：哪種方案比較好（即清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較少）？請說明理由．
（為方便計算，可以假設清洗前蔬菜上的農藥量為1，清洗后殘留的農藥量：方案一的記為W₁，方案二的記為W₂）．

Answer 1

分析：（1）利用函數可計算f（0）f（0）=1，表示沒有用水清洗，蔬菜上的農藥量并沒有變化；
（2）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，用a單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為：

1

1+a2

①；用

a

2

單位量的水清洗2次后，殘留的農藥量為：

1

1+( a 2 )2

•

1

1+( a 2 )2

②；作差①-②比較即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

1+x2

，∴f（0）=1
表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化
故答案為1，選B．
（2）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為 W1=1×f(a)=

1

1+a2

又如果用

a

2

單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為 1×f(

a

2

)=

1

1+( a 2 )2

此后再用

a

2

單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為 W2=

1

1+( a 2 )2

•f(

a

2

)=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(4+a2)2

由于 W1-W2=

1

1+a2

-

16

(4+a2)2

=

a2(a2-8)

(1+a2)(4+a2)2

當 a＞2

2

時，W₁＞W₂此時，把a單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農藥量較少
當 a=2

2

時，W₁=W₂此時，兩種清洗方式效果相同
當 0＜a＜2

2

時，W₁＜W₂，此時，用a單位量的水一次清洗殘留的農藥量較少

點評：本題以農藥殘留為素材，考查了一個自定義函數模型的實際應用，解題時要弄清題意，理解函數解析式的意義，并且在比較大小時用到作差法．