Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=CC1=

3

，那么異面直線AD₁與DC₁所成角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  8

• B．

  3

  8

• C．

  2

  4

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：連結BD、BC₁，由長方體的性質證出AD₁

∥

.

BC₁，因此∠DC₁B（或補角）就是異面直線AD₁與DC₁所成角．△BDC₁中算出各條邊的長度，再由余弦定理加以計算即可得到異面直線AD₁與DC₁所成角的余弦值．

解答：解：連結BD、BC₁，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，可得AD₁∥BC₁．且AD₁₌BC₁
因此∠DC₁B（或補角）就是異面直線AD₁與DC₁所成角
∵BD=

AB2+AD2

=2

3

，DC₁=

CD2+CC1 2

=2

3

，
BC₁=

BC2+CC12

=

6

∴△BDC₁中，由余弦定理得cos∠DC₁B=

DC12+BC12-BD2

2DC1•BC1

=

2

4

由此可得異面直線AD₁與DC₁所成角的余弦值是

2

4

故選：C

點評：本題在長方體中求異面直線的所成角大小，著重考查了長方體的性質、異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．