Question

【題目】已知多面體ABCDEF中，四邊形ABFE為正方形，，，G為AB的中點，.

（1）求證：平面CDEF；

（2）求平面ACD與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1) 證明：取中點,連接,推出,；

再證明平面,即可證明平面；

(2)根據(1)有平面,且,故可以為空間直角坐標系原點建系,根據空間向量的方法求解平面與平面所成銳二面角的余弦值

(1)證明：取中點,連接,根據題意可知,四邊形是邊長為2的正方形,所以,易求得,所以, 于是；

而,所以平面,又因為,所以平面；

(2)因為平面,且,故以為空間直角坐標系原點建立如圖空間直角坐標系.

由題意可知,故.

設平面的法向量,則,即,

不妨設,則易得.故.

又,故可設平面的法向量.

設平面與平面所成銳二面角為,故.