Question

設數列{a_n}是以展開式的常數項為首項，并且以橢圓3x²+4y²-6x-9=0的離心率為公比的無窮等比數列，為________．

Answer 1

-40
分析：利用二項式展開式的通項公式求出a₁=-20，再求出橢圓的離心率為，求出此等比數列的前n項和，利用數列極限的運算法則求出結果．
解答：∵展開式的通項T_r+1=C₆^r =，
令r=3 可得常數項為-20，即a₁=-20．
橢圓3x²+4y²-6x-9=0即，離心率為，故數列{a_n} 的公比的等于．
此等比數列的前n項和為 a₁+a₂+…+a_n==-40（1- ）．
∴==-40，
故答案為：-40．
點評：本題考查求二項式展開式的某項的系數，橢圓的簡單性質，等比數列的前n項和公式，以及數列極限的運算法則，求出 a₁+a₂+…+a_n=-40（1- ），是解題的關鍵和難點．