Question

（2012•濰坊二模）某超市計劃在“五一”節期間對某種商品開展抽獎促銷活動，設計的活動方案有兩個：
方案一：采取摸球抽獎的方法．在盒子中放入大小相同的10個小球，其中白球7個，黃球3個．顧客在購買一件該商品后，有連續三次摸球的機會，每次摸出一個小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一個黃球獎勵價值20元的獎品一件．
方案二：采用轉動如圖所示的圖形轉盤的方式抽獎．顧客在購買該商品后，用力轉動圓盤一次，根據箭頭A指向確定獲得相應價值的獎品一件（箭頭A指向每個區域的可能性相等，指向區域邊界時重新轉動）．
（I）按照這兩種方案各進行一次抽獎，分別求出顧客能中獎的概率；
（II）設按照方案一抽獎顧客能獲得的獎品的價值為X元，按照方案二抽獎顧客能獲得的獎品的價值為Y元，分別求出X和Y的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）分別計算兩種方案中獎的概率．先記出事件，得到試驗發生包含的所有事件，和符合條件的事件，由等可能事件的概率公式得到．
（II）由題意知變量的可能取值，對應于變量的不同值理解對應的事件，根據等可能事件的概率，做出分布列，寫出期望．

解答：解：（I）按照第一種方案進行抽獎，連續三次不放回地摸球，共含有基本事件數是A

3 10

=720，
記“三次摸到的都是白球”為事件A，事件A包含的基本事件數為A

3 7

=210，
則按照方案一抽獎，不能中獎的概率為P（A）=

210

720

=

7

24

，
按照方案一抽獎，中獎的概率為1-P（A）=

17

24

，
因箭頭A指向每個區域是等可能的，有獎的區域3個，所以按照方案二，能中獎的概率為

3

10

，
（II）由題意知，變量X的可能取值是0，20，40，60．
P（X=0）=

A 3 7

A 3 10

=

7

24

，P（X=20）=

C 1 3 C 2 7 C 3 3

A 3 10

=

21

40

，
P（X=40）=

C 2 3 C 1 7 A 3 3

A 3 10

=

7

40

，P（X=60）=

A 3 3

A 3 10

=

1

120

，
∴X的分布列是：

 則EX=0×

7

24

+20×

21

40

+40×

7

40

+60×

1

120

=18．
由題意知，變量Y的可能取值是0，10，30，50．
P（Y=0）=

7

10

，P（Y=10）=P（Y=30）=P（Y=50）=

1

10

，
∴Y的分布列是：

 則EY=0×

7

10

+10×

1

10

+30×

1

10

+50×

1

10

=9．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．