Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，

（1）求函數(shù)的最值；

（2）對(duì)于一切正數(shù)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值組成的集合。

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在（0，1）遞增，在遞減。的最大值為.

（2）。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）求解導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到判定，求解極值和最值。

（2）要證明不等式恒成立，那么可以通過研究函數(shù)的最值來分析得到參數(shù)的范圍。

解：（1）

 

所以可知函數(shù)在（0，1）遞增，在遞減。

所以的最大值為.

（2）令函數(shù)

得

當(dāng)時(shí)，恒成立。所以在遞增，

故x>1時(shí)不滿足題意。

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)遞減。

所以;即 的最大值 

令 ,則

令函數(shù)  ,

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；

所以函數(shù)，

從而

就必須當(dāng)時(shí)成立。

綜上。