Question

在一個盒子中有n+2（n≥2，n∈N^*）個球，其中2個球的標號是不同的偶數，其余n個球的標號是不同的奇數．甲乙兩人同時從盒子中各取出2個球，若這4個球的標號之和為奇數，則甲勝；若這4個球的標號之和為偶數，則乙勝．規定：勝者得2分，負者得0分．
（I）當n=3時，求甲的得分ξ的分布列和期望；
（II）當乙勝概率為

3

7

時，求n的值．

Answer 1

分析：（I）由題意知甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0，當n=3時利用等可能事件的概率做出甲勝的概率，從而得到甲負的概率，寫出分布列，做出期望值．
（II）要求乙勝得概率是

3

7

時，對應的n的值，對于n的值進行檢驗，分別做出對應的概率，概率不等于

3

7

，則舍去；等于時，的得到結果．

解答：解：（I）甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0
當n=3時，甲勝的概率為P=

C 3 3 • C 1 2

C 4 5

=

2

5

，從而甲負的概率為

3

5

．
∴甲的得分ξ的分布列為

故Eξ=

4

5

（II）當n=2時，乙勝的概率為P=1，不合題意；
當n=3時，乙勝的概率為P=

3

5

，不合題意；
當n≥4時，乙勝的概率P=

C 2 n

C 4 n+2

+

C 4 n

C 4 n+2

=

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

故

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

=

3

7

，化簡得n²-11n+30=0，
解得n=5或n=6．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分類討論思想的應用，考查利用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目．