Question

（本小題滿分12分）

某學校舉行“科普與環保知識競賽”，并從中抽取了部分學生的成績（均為整數），所得數據的分布直方圖如圖.已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第4小組與第5小組的頻率分別是0.175和0.075，第2小組的頻數為10.

（Ⅰ）求所抽取學生的總人數，并估計這次競賽的優秀率（分數大于80分）；

（Ⅱ）從成績落在（50.5,60.5）和（90.5,100.5）的學生中任選兩人，求他們的成績在同一組的概率.

Answer 1

解：（Ⅰ）設第一小組的頻率為x，則      x+2x+3x+0.175+0.075=1，解得x=0.125.

第二小組的頻數為10，得抽取顧客的總人數為=40人. …………………3分

依題意，分數大于80分的學生所在的第四、第五小組的頻率和為

       0.175+0.075=0.25，所以估計本次競賽的優秀率為25%.   ………………………6分

（Ⅱ）落在（50.5，60.5）和（90.5，100.5）的學生數分別為0.125×40=5；0.075×40=3.

…………………………………7分

落在（50.5，60.5）的學生設為：A_i（i=1，2，3，4，5）；落在（90.5，100.5）的學生設為：

B_j（j=1，2，3），則從這8人中任取兩人的基本事件為：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），（A₄，B₁）,（A₄，B₂）,（A₄，B₃）, （A₅，B₁）, （A₅，B₂）, （A₅，B₃）,

（A₁，A₂）, （A₁，A₃）, （A₂，A₃）,

（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄）,（B₃，B₅）, （B₄，B₅）,共28個基本事件；……………………………………………………………………10分

其中“成績落在同一組”包括（A₁，A₂）, （A₁，A₃）, （A₂，A₃）,

（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₁，B₄），（B₁，B₅），（B₂，B₃），（B₂，B₄），（B₂，B₅），（B₃，B₄）,（B₃，B₅）,

（B₄，B₅）,共包含13個基本事件，故所求概率為.    ……………………………………12分